| Nombre |
DESCRIPTION |
| pi |
Le nombre pi est sans doute la constante la plus célèbre des mathématiques. C'est le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre, et il vaut 3,1415926535… Des approximations de ce rapport existent depuis l'Antiquité. Le français Jean Henri Lambert démontra en 1768 que pi est irrationnel. En 1882, l'Allemand Ferdinand von Lindemann a prouvé qu'il est transcendant, c'est-à-dire non algébrique. Cela a démontré, du même coup, l'impossibilité de la quadrature du cercle : on ne peut pas, avec l'aide seulement d'une règle et d'un compas, construire un carré dont l'aire est exactement égale à celle d'un cercle (car une telle construction peut être traduite sous la forme d'une équation algébrique dont p devrait être solution). II existe un grand nombre d'expressions de p sous forme de séries infinies. Par exemple, pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9+…, ou encore pi2/6 =1+1/22+1/32+1/42+... |
| e |
Ce nombre, égal à 2,7182818284... joue un rôle au moins aussi important que pi. II est la limite de (1+1/n)n quand n tend vers l'infini. Le nombre e, désigné ainsi par Euler dès 1728, est la base des logarithmes népériens (ou logarithmes naturels) : la notation y =ln(x) signifie que ey=x. On peut montrer que ex=1+x+(x2/2)!+(x3/3)!+... (où par définition, n!=n(n-1)(n-2)…4.3.2.1). On a donc e=1+1+(1/2)!+(1/3)!+... C'est en partant de ce développement qu'Euler avait démontré que e est irrationnel. Le Français Charles Hermite prouva en 1873 que e est transcendant. La fonction exponentielle ex joue un rôle fondamental en analyse. Elle est par exemple liée aux fonctions trigonométriques par la relation eia=cos(a)+i.sin(a) (où i=racine(-1)) ; celle-ci est très souvent utilisée pour faciliter les calculs trigonométriques. Cette formule permet d'ailleurs d'obtenir ei.pi=-1. Autre exemple illustrant son importance : la dérivée de la fonction ex est égale elle-même à ex. C'est pourquoi la fonction exponentielle intervient de façon essentielle dans la résolution des équations différentielles linéaires. |
| Constante d'Euler |
C'est la limite de 1+1/2+1/3+...+1/n-ln(n ) lorsque n tend vers l'infini. Cette constante vaut 0,5772156649… Euler avait calculé les 16 premières décimales de y. On ne sait toujours pas si ce nombre est irrationnel, et encore moins s'il est transcendant. |
| Nombre d'Or |
Il mesure la vieille "section d'or" des Grecs. Sur un segment AB, la section d'or est déterminée par un point M tel qu'on ait AB/AM = AM/MB. Chacun de ces quotients est alors égal au nombre d'or, et vaut (1+racine(5))/2, c'est-à-dire 1,61803398... (pour certains auteurs, le nombre d'or désigne l'inverse de ce nombre, soit (racine(5)-1)/2 = 0,61803398...). C'est un nombre irrationnel mais algébrique, solution positive de l'équation x2-x-1=0. Le nombre d'or est aussi relié à la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., où chaque terme est la somme des deux précédents. On démontre en effet que le rapport entre le (n+1)-ième terme et le n-ième terme - c'est-à-dire le rapport entre deux éléments consécutifs de cette suite - tend vers le nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Le nombre d'or, appelé aussi la divine proportion, a joué un rôle dans l'esthétique classique. S'y ajoutent des interprétations mystiques ou symboliques. Plus pertinent du point de vue scientifique est le fait qu'on retrouve le nombre d'or en phyllotaxie, c'est-à-dire dans la disposition des feuilles autour de la tige chez les plantes.
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